Black-Scholesův model

Black-Scholesův model je matematický model finančního trhu, který popisuje určité finanční instrumenty. Pomocí něj lze následně určit teoretickou cenu evropských opcí. Základní myšlenkou modelu je možnost dosáhnout bezrizikové pozice pomocí tzv. “delta hedgování”, tj. nákupem a prodejem podkladového aktiva. Hodnota takto získaného portfolia je poté nezávislá na ceně podkladového aktiva. Odtud poté získáme teoretickou cenu opce. Tento model vedl k velkému rožšíření opčních obchodů a představuje jeden z nejvýznamnějších finančních modelů poslední doby.

Předpoklady modelu

Jako každý model, má i Black-Scholesův jisté předpoklady, které musí být splněny. Patří mezi ně:

  • Vyloučení možnosti arbitráže. Aby dosáhl zisku, musí investor podstoupit odpovídající riziko
  • Investor si může půjčovat za bezrizikovou sazbu
  • Lze kupovat i prodávat libovolné množství akcií
  • S obchodováním nevznikají žádné dodatečné náklady
  • Cena podkladové akcie se pohybuje v souladu s geometrickým Brownovým pohybem. Jedná se o náhodný pohyb, který lze popsat pomocí stochastického kalkulu. Nejedná se ale přímo o tzv. „random walk“.
  • Akcie nevyplácí dividendu

Následná rozšíření modelu odstranila některé předpoklady. Modelem pak lze zachytit dividendy, transakční náklady a daně, ale i americké opce.

Black-Scholesova rovnice a vzorec

Hlavní myšlenku modelu (tj. docílení vyrovnané delty portfolia) můžeme vyjádřit pomocí parciální diferenciální rovnice. Vyřešením této rovnice pak získáme Black-Scholesův vzorec, kde se vyskytují, čtyři proměnné – bezriziková úroková sazba, cena podkladového aktiva, čas do maturity, a volatilita výnosů akcie. Z tohoto vzorce již lze vypočítat hodnotu opce.

Greeks

Greeks jsou nástroje používané ve finanční analýze, které umožňují analyzovat citlivost ceny opce podle jedné ze čtyř výše zmíněných proměnných. Matematicky lze greeks definovat jako parciální derivace Black-Scholesova vzorce podle dané proměnné. Následující tabulka obsahuje ty nedůležitější:

Greek​ Citlivost ceny opce vůči změně v​
Delta​ ceně podkladového aktiva​
Vega​ volatilitě výnosů akcie ​
Ró​ bezrizikové úrokové sazby​
Théta​ změně času do maturity​
 

Další greeks jsou poté parciální derivace druhého a vyššího řádu. Měří poté rychlost změny greeku, použitého při první derivaci. Například gama je derivací delty podle změny podkladového aktiva.

Greeks mohou dále pomoci při přizpůsobování Black-Scholesova modelu.

Black-Scholesův model v praxi

Cena vypočítaná podle modelu a reálná cena se mohou více či méně lišit. Na vině jsou zjednodušující předpoklady, které model uvažuje. V reálném tržním prostředí se například ceny akcií neřídí výše zmíněným geometrickým Brownovým pohybem. Díky tomuto předpokladu se poté v modelu vyskytuje funkce normálního rozdělení. Odtud plyne podcenění extrémních pohybů cen akcií.

Dále Black-Scholesův model předpokládá vznik bezrizikové pozice pomocí delta hedgování. V realitě se však objevují další rizika, která se takto odstranit nedají. Jedná se například o rizika plynoucí z nedostatečné likvidity, ze změny volatility apod.

Tyto problémy se však dají do jisté míry do modelu zapracovat. K tomuto postupu lze použít „greeks“. Pokud bude investor hedgovat své portfolio nejen podle delty, ale i dalších greeks, odstraní tak další část rizika, plynoucí například z pohybu úrokových sazeb. Problematické složky rizika, jakými je například nelikvidita, je nutné „pohlídat“ mimo model, například použitím stress testů.

Jako u všech modelů tedy platí, že je velmi důležité vědět, kde model přestává fungovat.

Obchodujte s lídrem na trhu

  • Saxo Bank Vám nabízí  182 měnových párů. Obchodujte 
    forex spot, forwardy, vanilla a binární opce.
  • Široká škála obchodních nástrojů a widgetů, které posouvají FX
    obchodování na vyšší úroveň.
  • 100% globální nepředvídatelnost? Čas pro střízlivě smýšlející, licencovanou a regulovanou banku.
  • Platforma světové třídy! Obchodujte kdykoliv a kdekoliv.
    V práci, doma nebo na cestách.

Registrujte se do demo účtu zdarma.
Začněte obchodovat ihned!

OTEVŘÍT DEMO ÚČET







** Live indicative prices

Investiční slovník

A - B - C - D - E - F - G - H - I - J - K - L - M - N - O - P - Q - R - S - TU - V - X - Y - Z ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

Free Demo